History[edit]A diagram of Faraday's

History[edit]

A diagram of Faraday's iron ring apparatus. Change in the magnetic flux of the left coil induces a current in the right coil.[1]

Faraday's disk (see homopolar generator)
Electromagnetic induction was first discovered by Michael Faraday, who made his discovery public in 1831.[2][3] It was discovered independently by Joseph Henry in 1832.[4][5]

In Faraday's first experimental demonstration (August 29, 1831), he wrapped two wires around opposite sides of an iron ring or "torus" (an arrangement similar to a modern toroidal transformer). [6][not in citation given] Based on his assessment of recently discovered properties of electromagnets, he expected that, when current started to flow in one wire, a sort of wave would travel through the ring and cause some electrical effect on the opposite side. He plugged one wire into a galvanometer, and watched it as he connected the other wire to a battery. Indeed, he saw a transient current (which he called a "wave of electricity") when he connected the wire to the battery, and another when he disconnected it.[7] This induction was due to the change in magnetic flux that occurred when the battery was connected and disconnected.[1] Within two months, Faraday found several other manifestations of electromagnetic induction. For example, he saw transient currents when he quickly slid a bar magnet in and out of a coil of wires, and he generated a steady (DC) current by rotating a copper disk near the bar magnet with a sliding electrical lead ("Faraday's disk").[8]

Faraday explained electromagnetic induction using a concept he called lines of force. However, scientists at the time widely rejected his theoretical ideas, mainly because they were not formulated mathematically.[9] An exception was James Clerk Maxwell, who used Faraday's ideas as the basis of his quantitative electromagnetic theory.[9][10][11] In Maxwell's model, the time varying aspect of electromagnetic induction is expressed as a differential equation, which Oliver Heaviside referred to as Faraday's law even though it is slightly different from Faraday's original formulation and does not describe motional EMF. Heaviside's version (see Maxwell–Faraday equation below) is the form recognized today in the group of equations known as Maxwell's equations.

Heinrich Lenz formulated the law named after him in 1834 to describe the "flux through the circuit". Lenz's law gives the direction of the induced EMF and current resulting from electromagnetic induction (elaborated upon in the examples below).

Following the understanding brought by these laws, many kinds of device employing magnetic induction have been invented.


Faraday's experiment showing induction between coils of wire: The liquid battery (right) provides a current that flows through the small coil (A), creating a magnetic field. When the coils are stationary, no current is induced. But when the small coil is moved in or out of the large coil (B), the magnetic flux through the large coil changes, inducing a current which is detected by the galvanometer (G).[12]
Theory[edit]
Main article: Faraday's law of induction
The law of physics describing the process of electromagnetic induction is known as Faraday's law of induction and the most widespread version of this law states that the induced electromotive force in any closed circuit is equal to the rate of change of the magnetic flux enclosed by the circuit.[13][14] Or mathematically,

mathcal{E} = -{{dPhi_mathrm{B}} over dt} ,
where mathcal{E} is the electromotive force (EMF) and ΦB is the magnetic flux. The direction of the electromotive force is given by Lenz's law. This version of Faraday's law strictly holds only when the closed circuit is a loop of infinitely thin wire,[15] and is invalid in some other circumstances. A different version, the Maxwell–Faraday equation (discussed below), is valid in all circumstances.

For a tightly wound coil of wire, composed of N identical turns, each with the same magnetic flux going through them, the resulting EMF is given by[16][17]

mathcal{E} = -N {{dPhi_mathrm{B}} over dt}
Faraday's law of induction makes use of the magnetic flux ΦB through a hypothetical surface Σ whose boundary is a wire loop. Since the wire loop may be moving, we write Σ(t) for the surface. The magnetic flux is defined by a surface integral:

Phi_mathrm{B} = iintlimits_{Sigma(t)} mathbf{B}(mathbf{r}, t) cdot d mathbf{A} ,
where dA is an element of surface area of the moving surface Σ(t), B is the magnetic field, and B·dA is a vector dot product (the infinitesimal amount of magnetic flux). In more visual terms, the magnetic flux through the wire loop is proportional to the number of magnetic flux lines that pass through the loop.

When the flux changes—because B changes, or because the wire loop is moved or deformed, or both—Faraday's law of induction says that the wire loop acquires an EMF, mathcal{E}, defined as the energy available from a unit charge that has travelled once around the wire loop.[15][18][19][20] Equivalently, it is the voltage that would be measured by cutting the wire to create an open circuit, and attaching a voltmeter to the leads.

According to the Lorentz force law (in SI units),

mathbf{F} = q left(mathbf{E} + mathbf{v} imesmathbf{B}
ight)
the EMF on a wire loop is:

mathcal{E} = frac{1}{q} oint_{mathrm{wire}}mathbf{F}cdot doldsymbol{ell} = oint_{mathrm{wire}} left(mathbf{E} + mathbf{v} imesmathbf{B}
ight)cdot doldsymbol{ell}
where E is the electric field, B is the magnetic field (aka magnetic flux density, magnetic induction), dℓ is an infinitesimal arc length along the wire, and the line integral is evaluated along the wire (along the curve coincident with the shape of the wire).

Maxwell–Faraday equation[edit]

An illustration of Kelvin-Stokes theorem with surface Σ its boundary ∂Σ and orientation n set by the right-hand rule.
The Maxwell–Faraday equation is a generalisation of Faraday's law that states that a time-varying magnetic field is always accompanied by a spatially-varying, non-conservative electric field, and vice versa. The Maxwell–Faraday equation is


abla imes mathbf{E} = -frac{partial mathbf{B}} {partial t}

(in SI units) where
abla imes is the curl operator and again E(r, t) is the electric field and B(r, t) is the magnetic field. These fields can generally be functions of position r and time t.

The Maxwell–Faraday equation is one of the four Maxwell's equations, and therefore plays a fundamental role in the theory of classical electromagnetism. It can also be written in an integral form by the Kelvin-Stokes theorem:[21]

oint_{partial Sigma} mathbf{E} cdot doldsymbol{ell} = - int_{Sigma} frac{partial mathbf{B}}{partial t} cdot dmathbf{A}

where, as indicated in the figure:

Σ is a surface bounded by the closed contour ∂Σ,
E is the electric field, B is the magnetic field.
dℓ is an infinitesimal vector element of the contour ∂Σ,
dA is an infinitesimal vector element of surface Σ. If its direction is orthogonal to that surface patch, the magnitude is the area of an infinitesimal patch of surface.
Both dℓ and dA have a sign ambiguity; to get the correct sign, the right-hand rule is used, as explained in the article Kelvin-Stokes theorem. For a planar surface Σ, a positive path element dℓ of curve ∂Σ is defined by the right-hand rule as one that points with the fingers of the right hand when the thumb points in the direction of the normal n to the surface Σ.

The integral around ∂Σ is called a path integral or line integral.

Kết quả (Việt) 1:

Lịch sử [sửa]Một sơ đồ của Faraday sắt vòng máy. Sự thay đổi trong từ của các cuộn dây trái thông gây ra một hiện tại trong cuộn bên phải. [1]Faraday đĩa (xem máy phát điện homopolar)Cảm ứng điện từ lần đầu tiên được phát hiện bởi Michael Faraday, người đã khám phá ra công chúng năm 1831. [2] [3] nó được phát hiện một cách độc lập bởi Joseph Henry năm 1832. [4] [5]Trong trình diễn thử nghiệm đầu tiên của Faraday (29 tháng 8 năm 1831), ông bọc hai dây xung quanh các cạnh đối diện của một vòng sắt hoặc "torus" (một sắp xếp tương tự như một biến áp hình xuyến hiện đại). [6] [không có trong một số dẫn nguồn cho] Dựa trên đánh giá của ông về các tính chất phát hiện mới của nam châm điện, ông dự kiến rằng, khi dòng bắt đầu chảy một dây dẫn, một loại sóng sẽ đi du lịch thông qua vòng và gây ra một số hiệu ứng điện ở phía đối diện. Ông cắm một dây vào một điện kế, và theo dõi nó như ông kết nối các dây khác với một pin. Thật vậy, ông thấy một hiện nay tạm thời (mà ông gọi là một "làn sóng điện") khi ông kết nối dây điện với pin, và một khi ông ngắt kết nối nó. [7] cảm ứng này là do sự thay đổi trong từ thông xảy ra khi pin đã được kết nối và ngắt kết nối. [1] trong vòng hai tháng, Faraday tìm thấy một số biểu hiện khác của cảm ứng điện từ. Ví dụ, ông thấy thoáng qua dòng khi ông nhanh chóng trượt một thanh nam châm trong và ngoài của một cuộn dây, và ông tạo ra một giảm (DC) hiện tại bằng cách quay đĩa đồng gần thanh nam châm với một, trượt dẫn điện ("Faraday đĩa"). [8]Faraday giải thích cảm ứng điện từ bằng cách sử dụng một khái niệm mà ông gọi là dòng của lực lượng. Tuy nhiên, các nhà khoa học tại thời điểm rộng rãi từ chối ý tưởng lý thuyết của mình, chủ yếu là bởi vì họ đã không công thức toán học. [9] một ngoại lệ là James Clerk Maxwell, người sử dụng ý tưởng của Faraday làm cơ sở lý thuyết điện từ của ông định lượng. [9] [10] [11] trong mô hình của Maxwell, các khía cạnh khác nhau của thời gian của cảm ứng điện từ được thể hiện như một phương trình vi phân, Oliver Heaviside gọi là định luật Faraday mặc dù nó là hơi khác nhau từ của Faraday xây dựng ban đầu và không mô tả motional EMF. Phiên bản của Heaviside (xem phương trình Maxwell-Faraday dưới đây) là hình thức công nhận vào ngày hôm nay trong nhóm phương trình được gọi là phương trình Maxwell.Heinrich Lenz xây dựng luật tên ông năm 1834 để mô tả "thông qua các mạch". Lenz của luật cho sự chỉ đạo của EMF gây ra và kết quả hiện tại từ cảm ứng điện từ (xây dựng vào trong ví dụ bên dưới).Sau sự hiểu biết đưa ra bởi các điều luật này, nhiều loại thiết bị sử dụng các từ cảm ứng đã được phát minh ra.Thử nghiệm của Faraday Hiển thị cảm ứng giữa cuộn dây: pin lỏng (phải) cung cấp một dòng chảy qua các cuộn dây nhỏ (A), tạo ra một từ trường. Khi các cuộn dây được văn phòng phẩm, hiện tại không gây ra. Nhưng khi các cuộn dây nhỏ được di chuyển vào hoặc ra khỏi các cuộn dây lớn (B), từ thông qua những thay đổi lớn cuộn, gây ra một dòng đó được phát hiện bởi điện kế (G). [12]Lý thuyết [sửa]Bài chi tiết: luật cảm ứng FaradayPháp luật của vật lý mô tả quá trình cảm ứng điện từ được biết đến như là định luật Faraday cảm ứng và các phiên bản phổ biến nhất của điều này pháp luật tiểu bang rằng lực lượng electromotive gây ra trong bất kỳ đóng mạch là tương đương với mức độ thay đổi của từ thông kèm theo các mạch. [13] [14] hoặc toán học,mathcal{E} =-{{dPhi_mathrm {B}} over dt} ,nơi mathcal{E} là lực lượng electromotive (EMF) và ΦB là từ thông. Sự chỉ đạo của lực lượng electromotive được đưa ra bởi pháp luật của Lenz. Phiên bản này của định luật Faraday nghiêm giữ chỉ khi đóng mạch là một vòng lặp vô hạn mỏng dây, [15] và không hợp lệ trong một số trường hợp khác. Một phiên bản khác nhau, phương trình Maxwell-Faraday (được thảo luận dưới đây), có hiệu lực trong mọi trường hợp.Cho một vết thương chặt chẽ cuộn dây, bao gồm của N biến giống hệt nhau, mỗi với cùng một từ thông đi qua họ, EMF kết quả được đưa ra bởi [16] [17] mathcal{E} = -N {{dPhi_mathrm {B}} over dt} Định luật Faraday cảm ứng làm cho sử dụng của ΦB từ thông qua một giả thuyết bề mặt Σ có ranh giới là một vòng dây. Kể từ khi vòng dây có thể di chuyển, chúng tôi viết Σ(t) cho bề mặt. Từ thông được xác định bởi một bề mặt không thể thiếu: Phi_mathrm{B} = iintlimits_{Sigma(t)} mathbf{B}(mathbf{r}, t) cdot d mathbf{A}, nơi dA là một yếu tố của các diện tích bề mặt của bề mặt Σ(t) di chuyển, B là từ trường, và B·dA là một sản phẩm dot vector (số lượng infinitesimal của từ thông). Thêm trực quan, từ thông qua vòng dây là tỷ lệ thuận với số lượng các dòng từ thông qua các vòng lặp.Khi tuôn ra thay đổi-vì B thay đổi, hoặc vì vòng dây di chuyển hoặc bị biến dạng, hoặc cả hai — định luật Faraday cảm ứng nói rằng vòng dây mua lại một EMF, mathcal{E}, được định nghĩa là năng lượng có sẵn từ một phí đơn vị đã đi một lần quanh vòng dây. [15] [18] [19] [20] tương tự, nó là điện áp nào được đo bằng cách cắt dây để tạo ra một mạch mở, và gắn Volt kế để dẫn đầu.Theo Lorentz lực lượng Pháp luật (trong đơn vị SI), mathbf{F} = q left (mathbf {E} + mathbf{v} imesmathbf{B}
ight) EMF trên một dây là:mathcal{E} = frac{1}{q} oint_{mathrm{wire}}mathbf{F}cdot doldsymbol {ell} = oint_{mathrm{wire}} left (mathbf {E} + mathbf{v} imesmathbf{B}
ight)cdot doldsymbol {ell}nơi E là điện trường, B là từ trường (aka từ thông mật độ, cảm ứng từ), dℓ là một chiều dài infinitesimal arc dọc theo dây và tích phân đường được đánh giá dọc theo dây (dọc theo đường cong coincident với hình dạng của các dây).Phương trình Maxwell-Faraday [sửa]Một minh hoạ của định lý Kelvin Stokes với bề mặt Σ ranh giới của nó ∂Σ và định hướng n đặt bởi các quy tắc bàn tay phải.Phương trình Maxwell-Faraday là một generalisation của định luật Faraday mà biểu rằng một thời gian khác nhau từ trường luôn luôn đi kèm với nhờ điện trường trong không gian khác nhau, không bảo thủ, và ngược lại. Phương trình Maxwell-Faraday là
abla imes mathbf{E} = - frac{partial mathbf{B}} {partial t}(trong các đơn vị SI) nơi
abla imes đang sử dụng curl và một lần nữa E (r, t) là lĩnh vực điện và B (r, t) là từ trường. Các lĩnh vực này nói chung có thể là chức năng của vị trí r và thời gian t.Phương trình Maxwell-Faraday là một trong bốn Maxwell của phương trình, và do đó đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết điện từ cổ điển. Nó cũng có thể được ghi trong một hình thức tích phân theo định lý Kelvin Stokes: [21] mathbf{E oint_{partial Sigma}} cdot doldsymbol {ell} = - int_{Sigma} frac{partial mathbf{B}}{partial t} cdot dmathbf {A} ở đâu, như được chỉ định trong các con số:Σ là một bề mặt giáp đường viền ∂Σ đóng cửa,E là điện trường, B là từ trường.dℓ là một phần tử vectơ infinitesimal của ∂Σ đường viền,dA là một yếu tố infinitesimal véc tơ của bề mặt Σ. Nếu hướng của nó là trực giao đến đó patch bề mặt, độ lớn là khu vực của một miếng vá infinitesimal của bề mặt.Cả hai dℓ và dA có một dấu hiệu mơ hồ; để có được các dấu hiệu chính xác, các quy tắc bàn tay phải được sử dụng, như được diễn tả trong định lý Kelvin Stokes bài viết. Cho một Σ bề mặt phẳng, một yếu tố tích cực đường dẫn dℓ của đường cong ∂Σ được xác định bởi các quy tắc bàn tay phải là một trong những điểm với các ngón tay của bàn tay phải khi ngón tay cái chỉ trong sự chỉ đạo của n bình thường để Σ bề mặt.Tích phân xung quanh thành phố ∂Σ được gọi là một con đường tách rời hay dòng không thể tách rời.

Kết quả (Việt) 2:

Lịch sử [sửa] Một sơ đồ của bộ máy vòng sắt Faraday. Thay đổi từ thông của cuộn trái gây ra một dòng điện trong cuộn dây bên phải. [1] đĩa Faraday (xem máy phát điện homopolar) cảm ứng điện từ lần đầu tiên được phát hiện bởi Michael Faraday, người đã có công phát hiện của ông vào năm 1831. [2] [3] Nó được phát hiện một cách độc lập bởi Joseph Henry vào năm 1832. [4] [5] Trong cuộc biểu tình thử nghiệm đầu tiên Faraday (ngày 29 tháng 8 1831), ông quấn hai dây xung quanh cạnh đối diện của một vòng sắt hoặc "xuyến" (một sự sắp xếp tương tự như một hiện đại xuyến biến áp). [6] [không trích dẫn được] Dựa trên đánh giá của ông về tính chất mới được phát hiện của nam châm điện, ông mong rằng, khi hiện nay bắt đầu chảy trong một dây, một loại sóng sẽ đi qua các vòng và gây ra một số tác dụng điện về phía ngược lại bên. Ông cắm một dây vào một điện kế, và xem nó như là ông nối dây khác với pin. Thật vậy, ông đã nhìn thấy một hiện thoáng qua (mà ông gọi là một "làn sóng điện") khi ông nối dây tới pin, và một khi ông bị ngắt kết nối nó. [7] cảm ứng này là do sự thay đổi từ thông đã xảy ra khi pin đã được kết nối và ngắt kết nối. [1] Trong vòng hai tháng, Faraday tìm thấy một số biểu hiện khác của cảm ứng điện từ. Ví dụ, ông đã nhìn thấy dòng thoáng qua khi anh nhanh chóng luồn một thanh nam châm trong và ngoài của một cuộn dây, và ông đã tạo ra một thái ổn định (DC) hiện tại bằng cách quay một đĩa bằng đồng gần các thanh nam châm với một dẫn điện trượt ("đĩa Faraday "). [8] Faraday giải thích cảm ứng điện từ bằng cách sử dụng một khái niệm mà ông gọi là đường của lực lượng. Tuy nhiên, các nhà khoa học vào thời điểm đó từ chối rộng rãi tư tưởng lý thuyết của mình, chủ yếu là bởi vì họ đã không được xây dựng bằng toán học. [9] Một ngoại lệ là James Clerk Maxwell, người sử dụng ý tưởng của Faraday là cơ sở của lý thuyết điện từ định lượng của mình. [9] [10] [ 11] Trong mô hình của Maxwell, các khía cạnh thời gian khác nhau của cảm ứng điện từ được thể hiện như một phương trình vi phân, mà Oliver Heaviside gọi là định luật Faraday mặc dù nó là một chút khác nhau, từ công thức gốc Faraday và không mô tả EMF kiến nghị. Phiên bản Heaviside (xem Maxwell-Faraday phương trình dưới đây) là hình thức công nhận ngày hôm nay trong nhóm các phương trình được gọi là phương trình Maxwell. Heinrich Lenz lập định luật mang tên ông vào năm 1834 để mô tả "sự thăng trầm qua các mạch". Luật Lenz cho sự chỉ đạo của EMF gây ra và hiện tại do cảm ứng điện từ (lập thuận trong các ví dụ dưới đây). Sau khi sự hiểu biết đưa ra bởi các luật này, nhiều loại thiết bị sử dụng cảm ứng từ trường đã được phát minh. Thí nghiệm Faraday thấy cảm ứng giữa các cuộn dây của dây điện: Pin lỏng (phải) cung cấp một dòng điện chảy qua các cuộn dây nhỏ (A), tạo ra một từ trường. Khi cuộn dây thì đứng yên, không có được cảm ứng. . Nhưng khi các cuộn dây nhỏ được chuyển vào và ra của các cuộn dây lớn (B), từ thông qua những thay đổi cuộn lớn, gây ra một hiện tại được phát hiện bởi các điện kế (G) [12] Lý thuyết [sửa] Bài chi tiết: luật Faraday về cảm ứng Các luật của vật lý mô tả quá trình cảm ứng điện từ được gọi là định luật Faraday về cảm ứng và phiên bản phổ biến nhất của luật này phát biểu rằng lực điện động cảm ứng trong mạch kín bằng với tốc độ thay đổi của từ thông kèm theo các mạch [13] [14] Hoặc toán học,. mathcal {E} = - {{d Phi_ mathrm {B}} trên dt} , nơi mathcal {E} là lực điện (EMF ) và ΦB là từ thông. Hướng của lực điện được cho bởi luật Lenz. Phiên bản này của định luật Faraday giữ đúng chỉ khi mạch kín là một vòng dây điện vô cùng mỏng, [15] và không hợp lệ trong một số trường hợp khác. Một phiên bản khác nhau, các phương trình Maxwell-Faraday (được thảo luận dưới đây), có giá trị trong mọi tình huống. Đối với một cuộn dây quấn chặt dây, gồm N lần lượt giống hệt nhau, mỗi loại có từ thông cùng đi qua chúng, EMF kết quả được cho bởi [16] [17] mathcal {E} = -N {{d Phi_ mathrm {B}} trên dt} luật Faraday về cảm ứng làm cho việc sử dụng của ΦB từ thông qua một Σ bề mặt giả thuyết mà ranh giới là một dây loop. Kể từ khi vòng dây có thể được di chuyển, chúng tôi viết Σ (t) cho bề mặt. Các từ thông được định nghĩa bởi một bề mặt không thể tách rời: Phi_ mathrm {B} = iint giới hạn _ { Sigma (t)} mathbf {B} ( mathbf {r}, t) cdot d mathbf {A } , nơi dA là một phần tử của diện tích bề mặt của các Σ bề mặt di chuyển (t), B là từ trường, và B · dA là một sản phẩm vector chấm (số lượng vô cùng nhỏ từ thông). Trong điều kiện trực quan hơn, các từ thông qua vòng dây là tỷ lệ thuận với số lượng các dòng từ thông đi qua các vòng lặp. Khi thay đổi-vì thông lượng thay đổi B, hoặc vì các vòng dây được di chuyển hoặc bị biến dạng, hoặc cả hai-Faraday pháp luật của cảm ứng nói rằng các vòng dây mua một EMF, mathcal {E}, định nghĩa là năng lượng có sẵn từ một điện tích đơn vị đã đi du lịch một lần ở các vòng dây. [15] [18] [19] [20] Một cách tương đương, nó là điện áp sẽ được đo bằng cách cắt dây để tạo ra một mạch mở và gắn một vôn kế để các khách hàng tiềm năng. Theo luật lực Lorentz (trong đơn vị SI), mathbf {F} = q left ( mathbf {E} + mathbf {v} times mathbf {B} right) EMF trên một vòng dây là: mathcal {E} = frac {1} {q} oint _ { mathrm {dây}} mathbf {F} cdot d boldsymbol { ell} = oint _ { mathrm {dây}} left ( mathbf {E} + mathbf {v} times mathbf {B} right) cdot d boldsymbol { ell} trong đó E là điện trường, B là từ trường (mật độ thông lượng aka từ, cảm ứng từ), dℓ là một chiều dài hồ quang vô cùng nhỏ dọc theo dây, và tích phân đường được đánh giá dọc theo dây (cùng các đường cong trùng với hình dạng của dây). Maxwell-Faraday phương trình [sửa] Một minh họa cho định lý Kelvin-Stokes với Σ bề mặt ∂Σ ranh giới của nó và định hướng n thiết lập bởi các quy tắc bên tay phải. Các phương trình Maxwell-Faraday là một tổng quát của định luật Faraday mà biểu rằng một từ trường biến thiên theo thời gian luôn đi kèm với một điện trường không bảo thủ không gian-khác nhau, và ngược lại. Phương trình Maxwell-Faraday được Nabla times mathbf {E} = - frac { partial mathbf {B}} { partial t} (trong đơn vị SI), nơi Nabla times là các nhà điều hành curl và một lần nữa E (r, t) là điện trường và B (r, t) là từ trường. Các lĩnh vực này thường có thể được chức năng của vị trí r và thời gian t. Các phương trình Maxwell-Faraday là một trong bốn phương trình Maxwell, và do đó đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết về điện từ cổ điển. Nó cũng có thể được viết bằng một hình thức không thể thiếu của các định lý Kelvin-Stokes: [21] oint _ { partial Sigma} mathbf {E} cdot d boldsymbol { ell} = - int _ { Sigma} frac { partial mathbf {B}} { partial t} cdot d mathbf {A} nơi, như được chỉ ra trong hình: Σ là một bề mặt giới hạn bởi các đường viền ∂Σ khép kín, E là điện trường, B là từ trường. dℓ là một yếu tố vô cùng vector của ∂Σ đường viền, dA là một yếu tố vô cùng nhỏ của vector Σ bề mặt. Nếu hướng của nó là trực giao để mà vá bề mặt, độ lớn là diện tích của một bản vá lỗi vô cùng nhỏ của bề mặt. Cả hai dℓ và dA có một sự mơ hồ dấu hiệu; để có được những dấu hiệu chính xác, các quy tắc bên tay phải được sử dụng, như đã giải thích trong bài viết lý Kelvin-Stokes. Đối với một bề mặt phẳng Σ, một dℓ yếu tố tích cực của đường cong ∂Σ được xác định bởi các quy tắc bên tay phải là một mà chỉ với các ngón tay của bàn tay phải khi các điểm ngón tay cái trong sự chỉ đạo của n bình thường đến Σ bề mặt. tích xung quanh ∂Σ được gọi là một con đường không thể tách rời hoặc tích phân đường.