6 DUALITY THEORY AND SENSITIVITY AN

6 DUALITY THEORY AND SENSITIVITY ANALYSIS
As described further in the next two sections, sensitivity analysis basically involves investigating the effect on the optimal solution of making changes in the values of the
model parameters aij, bi, and cj. However, changing parameter values in the primal problem also changes the corresponding values in the dual problem. Therefore, you have your
choice of which problem to use to investigate each change. Because of the primal-dual
relationships presented in Secs. 6.1 and 6.3 (especially the complementary basic solutions property), it is easy to move back and forth between the two problems as desired.
In some cases, it is more convenient to analyze the dual problem directly in order to determine the complementary effect on the primal problem. We begin by considering two
such cases.
Changes in the Coefficients of a Nonbasic Variable
Suppose that the changes made in the original model occur in the coefficients of a variable that was nonbasic in the original optimal solution. What is the effect of these changes
on this solution? Is it still feasible? Is it still optimal?
Because the variable involved is nonbasic (value of zero), changing its coefficients
cannot affect the feasibility of the solution. Therefore, the open question in this case is
whether it is still optimal. As Tables 6.10 and 6.11 indicate, an equivalent question is
whether the complementary basic solution for the dual problem is still feasible after these
changes are made. Since these changes affect the dual problem by changing only one constraint, this question can be answered simply by checking whether this complementary
basic solution still satisfies this revised constraint.
We shall illustrate this case in the corresponding subsection of Sec. 6.7 after developing a relevant example.
6.5 THE ROLE OF DUALITY THEORY IN SENSITIVITY ANALYSIS
Introduction of a New Variable
As indicated in Table 6.6, the decision variables in the model typically represent the levels of the various activities under consideration. In some situations, these activities were
selected from a larger group of possible activities, where the remaining activities were not
included in the original model because they seemed less attractive. Or perhaps these other
activities did not come to light until after the original model was formulated and solved.
Either way, the key question is whether any of these previously unconsidered activities
are sufficiently worthwhile to warrant initiation. In other words, would adding any of these
activities to the model change the original optimal solution?
Adding another activity amounts to introducing a new variable, with the appropriate
coefficients in the functional constraints and objective function, into the model. The only
resulting change in the dual problem is to add a new constraint (see Table 6.3).
After these changes are made, would the original optimal solution, along with the
new variable equal to zero (nonbasic), still be optimal for the primal problem? As for the
preceding case, an equivalent question is whether the complementary basic solution for
the dual problem is still feasible. And, as before, this question can be answered simply
by checking whether this complementary basic solution satisfies one constraint, which in
this case is the new constraint for the dual problem.
To illustrate, suppose for the Wyndor Glass Co. problem of Sec. 3.1 that a possible
third new product now is being considered for inclusion in the product line. Letting xnew
represent the production rate for this product, we show the resulting revised model as
follows:
Maximize Z  3x1  5x2  4xnew,
subject to
x1  2x2  2xnew  4
3x1  2x2  3xnew  12
3x1  2x2  xnew  18
and
x1  0, x2  0, xnew  0.
After we introduced slack variables, the original optimal solution for this problem without x
new (given by Table 4.8) was (x1, x2, x3, x4, x5)  (2, 6, 2, 0, 0). Is this solution, along
with x
new  0, still optimal?
To answer this question, we need to check the complementary basic solution for the
dual problem. As indicated by the complementary optimal basic solutions property in Sec.
6.3, this solution is given in row 0 of the final simplex tableau for the primal problem,
using the locations shown in Table 6.4 and illustrated in Table 6.5. Therefore, as given in
both the bottom row of Table 6.5 and the sixth row of Table 6.9, the solution is
(y1, y2, y3, z1  c1, z2  c2) 0, 3 2 , 1, 0, 0.
(Alternatively, this complementary basic solution can be derived in the way that was illustrated in Sec. 6.3 for the complementary basic solution in the next-to-last row of Table 6.9.)
6.5 THE ROLE OF DUALITY THEORY IN SENSITIVITY ANALYSIS 253
Since this solution was optimal for the original dual problem, it certainly satisfies the
original dual constraints shown in Table 6.1. But does it satisfy this new dual constraint?
2y1  3y2  y3  4
Plugging in this solution, we see that
2(0)  33 2   (1)  4
is satisfied, so this dual solution is still feasible (and thus still optimal). Consequently, the
original primal solution (2, 6, 2, 0, 0), along with xnew  0, is still optimal, so this third
possible new product should not be added to the product line.
This approach also makes it very easy to conduct sensitivity analysis on the coefficients
of the new variable added to the primal problem. By simply checking the new dual constraint,
you can immediately see how far any of these parameter values can be changed before they
affect the feasibility of the dual solution and so the optimality of the primal solution.
Other Applications
Already we have discussed two other key applications of duality theory to sensitivity analysis, namely, shadow prices and the dual simplex method. As described in Secs. 4.7 and 6.2,
the optimal dual solution (y1 *, y2 *, . . . , ym *) provides the shadow prices for the respective
resources that indicate how Z would change if (small) changes were made in the bi (the resource amounts). The resulting analysis will be illustrated in some detail in Sec. 6.7.
In more general terms, the economic interpretation of the dual problem and of the simplex method presented in Sec. 6.2 provides some useful insights for sensitivity analysis.
When we investigate the effect of changing the bi or the aij values (for basic variables), the original optimal solution may become a superoptimal basic solution (as defined in Table 6.10) instead. If we then want to reoptimize to identify the new optimal solution, the dual simplex method (discussed at the end of Secs. 6.1 and 6.3) should be
applied, starting from this basic solution.
We mentioned in Sec. 6.1 that sometimes it is more efficient to solve the dual problem directly by the simplex method in order to identify an optimal solution for the primal problem. When the solution has been found in this way, sensitivity analysis for the
primal problem then is conducted by applying the procedure described in the next two
sections directly to the dual problem and then inferring the complementary effects on the
primal problem (e.g., see Table 6.11). This approach to sensitivity analysis is relatively
straightforward because of the close primal-dual relationships described in Secs. 6.1 and
6.3. (See Prob. 6.6-3.)

Kết quả (Việt) 1:

PHÂN TÍCH 6 DUALITY LÝ THUYẾT VÀ NHẠY CẢMNhư được mô tả hơn nữa trong các phần tiếp theo hai, phân tích độ nhạy về cơ bản liên quan đến việc điều tra các hiệu ứng trên các giải pháp tối ưu của thực hiện thay đổi trong các giá trị của cácMô hình tham số aij, bi, và cj. Tuy nhiên, thay đổi giá trị tham số trong vấn đề nguyên cũng thay đổi các giá trị tương ứng trong vấn đề kép. Vì vậy, bạn có của bạnsự lựa chọn của vấn đề sử dụng để điều tra mỗi thay đổi. Vì nguyên képmối quan hệ trình bày trong khô. 6.1 và 6.3 (đặc biệt là tài sản bổ sung các giải pháp cơ bản), nó rất dễ dàng để di chuyển qua lại giữa hai vấn đề như mong muốn.Trong một số trường hợp, nó là thuận tiện hơn để phân tích vấn đề kép trực tiếp nhằm xác định hiệu quả bổ sung về vấn đề nguyên. Chúng tôi bắt đầu bằng cách xem xét haitrường hợp như vậy.Những thay đổi trong các hệ số của một biến NonbasicGiả sử rằng những thay đổi trong mô hình ban đầu xảy ra trong các hệ số của một biến được nonbasic trong các giải pháp tối ưu ban đầu. Tác động của những thay đổi này là gìtrên giải pháp này? Là nó vẫn còn khả thi? Là nó vẫn tối ưu?Bởi vì các biến tham gia nonbasic (giá trị của số không), thay đổi hệ số của nókhông thể ảnh hưởng đến khả năng của các giải pháp. Vì vậy, câu hỏi mở trong trường hợp này làcho dù đó là vẫn còn tối ưu. Như bảng 6,10 và 6,11 cho biết, một câu hỏi tương đương làcho dù các giải pháp cơ bản bổ sung cho vấn đề kép là khả thi vẫn còn sau nàychanges are made. Since these changes affect the dual problem by changing only one constraint, this question can be answered simply by checking whether this complementarybasic solution still satisfies this revised constraint.We shall illustrate this case in the corresponding subsection of Sec. 6.7 after developing a relevant example.6.5 THE ROLE OF DUALITY THEORY IN SENSITIVITY ANALYSISIntroduction of a New VariableAs indicated in Table 6.6, the decision variables in the model typically represent the levels of the various activities under consideration. In some situations, these activities wereselected from a larger group of possible activities, where the remaining activities were notincluded in the original model because they seemed less attractive. Or perhaps these otheractivities did not come to light until after the original model was formulated and solved.Either way, the key question is whether any of these previously unconsidered activitiesare sufficiently worthwhile to warrant initiation. In other words, would adding any of theseactivities to the model change the original optimal solution?Adding another activity amounts to introducing a new variable, with the appropriatecoefficients in the functional constraints and objective function, into the model. The onlyresulting change in the dual problem is to add a new constraint (see Table 6.3).After these changes are made, would the original optimal solution, along with thebiến mới bằng 0 (nonbasic), vẫn được tối ưu cho vấn đề nguyên? Đối với cáctrường hợp trước, một câu hỏi tương đương là liệu các giải pháp cơ bản bổ sung chovấn đề kép là vẫn còn khả thi. Và, như trước đó, câu hỏi này có thể được trả lời đơn giản làbằng cách kiểm tra cho dù giải pháp cơ bản bổ sung này đáp ứng một trong những hạn chế, mà trongtrường hợp này là hạn chế mới cho vấn đề kép.Để minh họa, giả sử cho vấn đề Wyndor kính công của Sec. 3.1 mà một có thểThứ ba sản phẩm mới bây giờ được coi là để đưa vào các dòng sản phẩm. Cho phép xnewđại diện cho mức sản xuất cho sản phẩm này, chúng tôi hiển thị các mô hình cải tiến kết quả nhưsau:Tối đa hóa Z 3 x 1 5 x 2 4xnew,tùy thuộc vàox 1 2 x 2 2xnew 43 x 1 2 x 2 3xnew 123 x 1 2 x 2 xnew 18vàx 1 0, x 2 0, xnew 0.Sau khi chúng tôi giới thiệu biến slack, ban đầu giải pháp tối ưu cho vấn đề này mà không có xmới (được đưa ra bởi bảng 4.8) là (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) (2, 6, 2, 0, 0). Đây là giải pháp, dọc theovới xmới 0, vẫn còn tối ưu?Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phải kiểm tra các giải pháp cơ bản bổ sung cho cáchai vấn đề. Như được chỉ ra bởi nhà bổ sung giải pháp tối ưu cơ bản trong giây.6.3, giải pháp này được đưa ra trong hàng 0 simplex tableau cuối cùng cho vấn đề nguyên,sử dụng các vị trí Hiển thị trong bảng 6.4 và minh họa trong bảng 6.5. Do đó, như được đưa ra trongcả hai dòng dưới cùng của bảng 6.5 và dòng thứ sáu của bảng 6.9, giải pháp là(y1, y2, y3, z1 c1, z2 c2) 0, 3 2, 1, 0, 0.(Ngoài ra, giải pháp cơ bản bổ sung này có thể được bắt nguồn trong cách được minh họa trong Sec. 6.3 cho các giải pháp cơ bản bổ sung trong dòng tiếp theo để cuối cùng của bảng 6.9.)6.5 VAI TRÒ CỦA DUALITY LÝ THUYẾT TRONG PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY 253Kể từ khi giải pháp này là tối ưu cho vấn đề kép ban đầu, nó chắc chắn đáp ứng cácBan đầu khó khăn kép Hiển thị trong bảng 6,1. Nhưng nó có đáp ứng hạn chế kép mới này?2y1 3y2 y3 4Cắm trong giải pháp này, chúng ta thấy rằng2(0) 3 3 2 (1) 4là hài lòng, vì vậy giải pháp kép này là khả thi vẫn còn (và do đó vẫn còn tối ưu). Do đó, cácBan đầu giải pháp nguyên (2, 6, 2, 0, 0), cùng với xnew 0, là vẫn còn tối ưu, vì vậy thứ basản phẩm mới có thể không nên được thêm vào các dòng sản phẩm.Cách tiếp cận này cũng làm cho nó rất dễ dàng để tiến hành phân tích độ nhạy trên các hệ sốmới biến thêm cho vấn đề nguyên. Bằng cách chỉ đơn giản là kiểm tra những hạn chế mới kép,bạn ngay lập tức có thể xem cách xa bất kỳ của các giá trị tham số có thể được thay đổi trước khi họảnh hưởng đến khả năng của các giải pháp kép và do đó điều giải pháp nguyên.Các ứng dụng khácĐã, chúng tôi đã thảo luận hai các ứng dụng quan trọng khác của lý thuyết nhị nguyên để phân tích độ nhạy, cụ thể là, bóng giá cả và các phương pháp simplex kép. Như được mô tả trong khô. 4.7 và 6,2,Các giải pháp tối ưu kép (y1 *, y2 *,..., ym *) cung cấp các mức giá bóng cho các tương ứngresources that indicate how Z would change if (small) changes were made in the bi (the resource amounts). The resulting analysis will be illustrated in some detail in Sec. 6.7.In more general terms, the economic interpretation of the dual problem and of the simplex method presented in Sec. 6.2 provides some useful insights for sensitivity analysis.When we investigate the effect of changing the bi or the aij values (for basic variables), the original optimal solution may become a superoptimal basic solution (as defined in Table 6.10) instead. If we then want to reoptimize to identify the new optimal solution, the dual simplex method (discussed at the end of Secs. 6.1 and 6.3) should beapplied, starting from this basic solution.We mentioned in Sec. 6.1 that sometimes it is more efficient to solve the dual problem directly by the simplex method in order to identify an optimal solution for the primal problem. When the solution has been found in this way, sensitivity analysis for theprimal problem then is conducted by applying the procedure described in the next twosections directly to the dual problem and then inferring the complementary effects on theprimal problem (e.g., see Table 6.11). This approach to sensitivity analysis is relativelystraightforward because of the close primal-dual relationships described in Secs. 6.1 and6.3. (See Prob. 6.6-3.)

Kết quả (Việt) 2:

LÝ THUYẾT 6 nhị nguyên và nhạy PHÂN TÍCH
Như được mô tả thêm trong hai phần tiếp theo, phân tích độ nhạy cảm về cơ bản liên quan đến việc điều tra các hiệu ứng trên các giải pháp tối ưu của các thay đổi trong các giá trị của các
tham số mô hình aij, bi, và cj. Tuy nhiên, thay đổi giá trị tham số trong các vấn đề nguyên thủy cũng thay đổi các giá trị tương ứng trong các vấn đề kép. Vì vậy, bạn có bạn
lựa chọn trong đó vấn đề sử dụng để điều tra mỗi thay đổi. Bởi vì các nguyên sơ-dual
mối quan hệ giới trong Giây. 6.1 và 6.3 (đặc biệt là bổ sung các giải pháp cơ bản tài sản), nó rất dễ dàng để di chuyển qua lại giữa hai vấn đề như mong muốn.
Trong một số trường hợp, nó là thuận tiện hơn để phân tích các vấn đề kép trực tiếp để xác định hiệu quả bổ sung trên Vấn đề nguyên thủy. Chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét hai
trường hợp như vậy.
Những thay đổi trong các hệ số của một biến Nonbasic
Giả sử rằng những thay đổi trong mô hình ban đầu xảy ra trong các hệ số của một biến đó là nonbasic trong các giải pháp tối ưu ban đầu. Ảnh hưởng của những thay đổi này là gì
về giải pháp này? Là nó vẫn còn khả thi? Là nó vẫn còn tối ưu?
Bởi vì các biến có liên quan là nonbasic (giá trị của số không), thay đổi hệ số của nó
không thể ảnh hưởng đến tính khả thi của các giải pháp. Do đó, câu hỏi mở trong trường hợp này là
cho dù nó vẫn là tối ưu. Như bảng 6.10 và 6.11 cho thấy, một câu hỏi tương đương là
liệu các giải pháp cơ bản bổ sung cho các vấn đề kép là vẫn còn khả thi sau khi các
thay đổi được thực hiện. Kể từ khi những thay đổi này ảnh hưởng đến các vấn đề kép bằng cách thay đổi chỉ có một ràng buộc, câu hỏi này có thể được trả lời chỉ đơn giản bằng cách kiểm tra xem liệu bổ sung này
giải pháp cơ bản vẫn đáp ứng hạn chế sửa đổi này.
Chúng tôi sẽ minh họa các trường hợp này trong các tiểu mục tương ứng của Sec. 6.7 sau khi phát triển một ví dụ có liên quan.
6.5 VAI TRÒ CỦA LÝ THUYẾT TRÊN nhị nguyên PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY
Giới thiệu một biến mới
Như đã nêu trong Bảng 6.6, các biến quyết định trong các mô hình điển hình đại diện cho mức độ của các hoạt động khác nhau được xem xét. Trong một số tình huống, các hoạt động này đã được
lựa chọn từ một nhóm lớn hơn của các hoạt động có thể, nơi các hoạt động còn lại không được
bao gồm trong mô hình ban đầu, vì họ có vẻ kém hấp dẫn. Hoặc có lẽ những khác
hoạt động không đưa ra ánh sáng cho đến sau khi các mô hình ban đầu được xây dựng và giải quyết.
Dù bằng cách nào, câu hỏi chính là liệu những hoạt động trước đây unconsidered
là đủ giá trị để bảo đảm bắt đầu. Nói cách khác, sẽ bổ sung thêm bất kỳ các
hoạt động với mô hình thay đổi các giải pháp tối ưu ban đầu?
Thêm một lượng hoạt động khác để giới thiệu một biến mới, với sự thích hợp
hệ số trong những hạn chế chức năng và hàm mục tiêu, vào mô hình. Chỉ có
kết quả thay đổi trong vấn đề kép là để thêm một ràng buộc mới (xem Bảng 6.3).
Sau khi những thay đổi này được thực hiện, sẽ là giải pháp tối ưu ban đầu, cùng với
mới biến bằng zero (nonbasic), vẫn được tối ưu cho các nguyên sơ vấn đề? Đối với các
trường hợp trước đó, một câu hỏi tương đương là liệu các giải pháp cơ bản bổ sung cho
các vấn đề kép là vẫn còn khả thi. Và, như trước đây, câu hỏi này có thể được trả lời chỉ đơn giản
bằng cách kiểm tra xem liệu giải pháp cơ bản bổ sung này thoả mãn một ràng buộc, mà trong
trường hợp này là các ràng buộc mới cho các vấn đề kép.
Để minh họa, giả sử cho vấn đề Wyndor Glass Co của Sec. 3.1 rằng có thể
sản phẩm mới thứ ba bây giờ đang được xem xét để đưa vào các dòng sản phẩm. Cho xnew
đại diện cho tốc độ sản xuất cho sản phẩm này, chúng ta chỉ ra mô hình sửa đổi kết quả như
sau:
Tối đa hóa Z? 3x1? 5x2? 4xnew,
chịu
x1? 2x2? 2xnew? 4
3x1? 2x2? 3xnew? 12
3x1? 2x2? xnew? 18
và
x1? 0, x2? 0, xnew? 0.
Sau khi chúng tôi giới thiệu biến slack, các giải pháp tối ưu ban đầu cho vấn đề này mà không có x
mới (do Bảng 4.8) là (x1, x2, x3, x4, x5)? (2, 6, 2, 0, 0). Là giải pháp này, cùng
với x
mới? 0, vẫn tối ưu?
Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phải kiểm tra các giải pháp cơ bản bổ sung cho các
vấn đề kép. Như được chỉ ra bởi các bổ sung tối ưu cơ bản giải pháp bất động sản ở Sec.
6.3, giải pháp này được đưa ra trong hàng 0 của tableau simplex cuối cùng cho vấn đề nguyên thủy,
sử dụng các địa điểm thể hiện trong Bảng 6.4 và minh họa trong Bảng 6.5. Do đó, như được đưa ra trong
cả hai hàng dưới cùng của bảng 6.5 và hàng thứ sáu trong bảng 6.9, giải pháp là
(y1, y2, y3, z1 c1, z2? C2?) ?? 0,? 3 2?, 1, 0 , 0 ?.
(Ngoài ra, giải pháp cơ bản bổ sung này có thể được bắt nguồn theo cách đó được minh họa trong Sec. 6.3 cho các giải pháp cơ bản bổ sung trong vòng gần cuối hàng Bảng 6.9.)
6.5 VAI TRÒ CỦA LÝ THUYẾT TRÊN nhị nguyên nhạy PHÂN TÍCH 253
Kể từ khi giải pháp này đã được tối ưu cho các vấn đề kép ban đầu, chắc chắn nó thỏa mãn các
ràng buộc ban đầu kép thể hiện trong Bảng 6.1. Nhưng liệu nó có đáp ứng hạn chế kép mới này?
2y1? 3y2? y3? 4
Cắm trong giải pháp này, chúng ta thấy rằng
2 (0)? 3 ?? 3 2 ?? ? (1)? 4
là hài lòng, vì vậy giải pháp kép này là vẫn còn khả thi (và do đó vẫn còn tối ưu). Do đó, các
giải pháp nguyên thủy ban đầu (2, 6, 2, 0, 0), cùng với xnew? 0, vẫn còn tối ưu, vì vậy thứ ba này
sản phẩm mới có thể không được bổ sung vào dòng sản phẩm.
Cách tiếp cận này cũng làm cho nó rất dễ dàng để thực hiện phân tích độ nhạy trên các hệ số
của biến mới được thêm vào các vấn đề nguyên thủy. Bởi đơn giản là kiểm tra các hạn chế kép mới,
ngay lập tức bạn có thể xem cách xa bất kỳ của các giá trị tham số có thể được thay đổi trước khi chúng
ảnh hưởng đến tính khả thi của các giải pháp kép và do đó tối ưu của các giải pháp nguyên thủy.
Các ứng dụng khác
Đã chúng tôi đã thảo luận về hai ứng dụng quan trọng khác của thuyết nhị nguyên để phân tích độ nhạy, cụ thể là, bóng giá và các phương pháp đơn hình kép. Như đã mô tả ở Giây. 4.7 và 6.2,
các giải pháp kép tối ưu (y1 *, y2 *,..., Ym *) cung cấp các giá bóng cho tương ứng
nguồn lực mà chỉ ra làm thế nào Z sẽ thay đổi nếu (nhỏ) những thay đổi đã được thực hiện trong (các khoản tài nguyên bi ). Các kết quả phân tích sẽ được minh họa trong một số chi tiết trong Sec. 6.7.
Trong điều kiện tổng quát hơn, việc giải thích kinh tế của vấn đề kép và phương pháp trình bày trong simplex Sec. 6.2 cung cấp một số thông tin hữu ích cho việc phân tích độ nhạy cảm.
Khi chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của việc thay đổi những bi hoặc các giá trị aij (cho các biến cơ bản), các giải pháp tối ưu ban đầu có thể trở thành một giải pháp cơ bản superoptimal (như được định nghĩa trong Bảng 6.10) thay thế. Nếu sau đó chúng tôi muốn reoptimize để xác định các giải pháp tối ưu mới, phương pháp đơn hình kép (được thảo luận vào cuối Giây. 6.1 và 6.3) nên được
áp dụng, bắt đầu từ giải pháp cơ bản này.
Chúng tôi đã đề cập ở Sec. 6.1 mà đôi khi nó là hiệu quả hơn để giải quyết vấn đề kép trực tiếp bằng phương pháp đơn hình để xác định một giải pháp tối ưu cho vấn đề nguyên thủy. Khi các giải pháp đã được tìm thấy theo cách này, phân tích độ nhạy đối với các
vấn đề nguyên thủy sau đó được tiến hành bằng cách áp dụng các thủ tục được mô tả trong hai tiếp theo
bộ phận trực tiếp đến vấn đề kép và sau đó suy luận ra các hiệu ứng bổ sung về
vấn đề nguyên sơ (ví dụ, xem bảng 6.11 ). Cách tiếp cận này để phân tích độ nhạy tương đối
đơn giản vì các mối quan hệ nguyên thủy-kép gần mô tả trong Giây. 6.1 và
6.3. (Xem Prob. 6,6-3).